Generalization of Garsia’s Expansion Formula for Top to Random Shuffles

In the top to random shuffle, the first a cards are removed from a deck of n cards 12 . . . n and then inserted back into the deck. This action can be studied by treating the top to random shuffle as an element Ba of the algebra Q(Sn). For a = 1, Adriano Garsia in “On the Powers of Top to Random Shuffling” (2002) derived an expansion formula for B 1 for k ≤ n, though his proof for the formula was non-bijective. We provide a bijective proof of Garsia’s expansion formula, which will in addition allow us to improve upon this formula to arbitrary k. Afterward, we generalize Garsia’s formula, providing an expansion formula for B a . Résumé. Dans le “du-haut-au-hasard shuffle”, les a premières cartes sont retirées d’un jeu de n cartes 12 · · ·n pour ensuite les ré-insérer. Cette action peut être étudiée en traitant le “du-haut-au-hasard shuffle” comme un élément Ba de l’algébre Q(Sn). Adriano Garsia dans “On the Powers of Top to Random Shuffling” (2002) donne une formule valide pour B 1 avec k ≤ n. Cependant, sa preuve est non bijective. Nous donnons une preuve bijective de ce résultat le généralisant à k quelconque. Enfin, nous élargirons la formule de Garsia à B a .